显式几何内容放在了上一讲中

(资料图片)

本节内容

贝塞尔曲线

贝塞尔曲线用一系列的控制点去定义某个曲线，需要满足一些性质，比如曲线方向要朝着p0到p1方向走，再到p2，最后到p3，并且起止点必须为p0、p3

贝塞尔曲线运用德卡斯特里奥（de Casteljau）算法 生成二次贝塞尔曲线：

定义三个点 -> 根据任意的 t 插值出点 -> 不断重复 t在[0,1]间不断取值 -> 得到曲线

（二次贝塞尔曲线采用了递归的方式，并且需要尽量多的加入ｔ值去得到曲线想要的点）

三个点的应用

四个点的应用

二次贝塞尔曲线动画

贝塞尔曲线的代数表示

在每两个之间找一个时间t，相当于每两个之间线性插值

把算法过程写成代数的形式（如图）

推广到n阶，不难发现这其实是一个符合二项分布的多项式

举例：三次贝塞尔曲线的代数表示

贝塞尔曲线的性质

１．对称性：第ｉ项系数和倒数第ｉ项系数相同

２．必过起点终点，起始切线方向为前两个点连接的方向，终止切线方向为结尾两个点连接的方向

３．在仿射变换下，只需要对顶点做仿射变换，就能得到这个贝塞尔曲线在仿射变换下的结果

４．凸包性质：贝塞尔曲线始终会在包含了所有控制点的最小凸多边形中, 而不是按照控制点的顺序围成的最小多边形

逐段贝塞尔曲线

控制点多了以后，贝塞尔曲线并不直观，很难控制，于是我们想到可以每次定义一段贝塞尔曲线，然后连起来

普遍习惯每四个控制点定义一段，并略去中间两点间的连线

但如何保证连起来的曲线是光滑的呢？

起点的两个切线导数相等（不仅方向一样，大小也一样）

－－逐段贝塞尔曲线连续性（分为点连续和切线连续）

当然也会有更高的连续性要求比如ｃ２等（ｃ２不知道）

样条曲线－－其他类型的曲线

样条：连续的曲线，由一系列控制点控制，满足一定的连续性，即可控的曲线

B样条曲线有关信息可以参考：

https://zhuanlan.zhihu.com/p/50626506

https://www.bilibili.com/video/BV13441127CH?p=13 胡事民老师的课

B样条曲线（别称基函数样条）需要比贝塞尔曲线更多的信息，并满足所有贝塞尔曲线的重要性质